Was ist der Dreisatz und wie wird er berechnet
Der Dreisatz ist die einfachste Methode, um Proportionalitätsaufgaben zu lösen: sind drei
Werte einer Beziehung bekannt, lässt sich der vierte bestimmen. Der klassische Ansatz lautet
"A verhält sich zu B wie C zu X", wobei X die Unbekannte ist. Es ist wohl das am häufigsten
genutzte mathematische Werkzeug des Alltags: Mengen eines Rezepts anpassen, Kilopreise vergleichen, Kosten
aufteilen, Währungen umrechnen oder abschätzen, wie lange du für eine Aufgabe brauchst, wenn du das Tempo änderst.
Das Einzige, worauf es ankommt, ist die richtige Art der Proportionalität zu wählen. Es gibt zwei Varianten,
und jede hat ihre eigene Formel: den direkten Dreisatz, wenn beide Größen gemeinsam wachsen
oder fallen, und den umgekehrten Dreisatz, wenn die eine wächst, während die andere fällt.
Dieser Rechner löst beide live: gib A, B und C ein, wähle den Modus und du erhältst X sofort, mit Aufschlüsselung
der angewandten Formel.
Direkter Dreisatz: je mehr A, desto mehr B
Beim direkten Dreisatz bleibt der Quotient der Größen konstant: verdoppelt sich die eine, verdoppelt sich auch
die andere. Die Formel lautet X = (B × C) / A. Das ist der Fall bei Kochrezepten:
enthält ein Rezept für 4 Personen 300 Gramm Reis, brauchst du für 6 Personen (300 × 6) / 4 = 450 Gramm. Und bei
Stückpreisen: kosten 3 Kilo Orangen 4,50 Euro, kosten 5 Kilo (4,50 × 5) / 3 = 7,50 Euro.
In beiden Beispielen wächst mit der ersten Menge auch die zweite, weshalb der direkte Dreisatz die richtige Wahl ist.
Umgekehrter Dreisatz: je mehr A, desto weniger B
Beim umgekehrten Dreisatz bleibt das Produkt der Größen konstant, nicht der Quotient.
Die Formel ändert sich zu X = (A × B) / C. Das klassische Beispiel sind Arbeiter und Bautage:
bauen 4 Arbeiter eine Mauer in 6 Tagen, schaffen 8 Arbeiter (doppelt so viele Hände) es in der halben Zeit:
(4 × 6) / 8 = 3 Tage. Ein weiterer Alltagsfall ist Geschwindigkeit und Reisezeit: brauchst du bei
90 km/h 2 Stunden, brauchst du bei 120 km/h (90 × 2) / 120 = 1,5 Stunden. Je schneller du fährst, desto weniger
Zeit benötigst du: gegenläufig, umgekehrte Proportionalität.
Tabelle gelöster Beispiele
| Aufgabe |
Art |
Formel |
Ergebnis |
| Kosten 3 Tickets 12 €, wie viel kosten 5? |
Direkt |
(12 × 5) / 3 |
20 € |
| Kosten 2,5 m Stoff 10 €, wie viel kosten 7 m? |
Direkt |
(10 × 7) / 2,5 |
28 € |
| Brauchen 4 Arbeiter 6 Tage, wie lange brauchen 8 Arbeiter? |
Umgekehrt |
(4 × 6) / 8 |
3 Tage |
| Brauchst du bei 90 km/h 2 h, wie lange bei 120 km/h? |
Umgekehrt |
(90 × 2) / 120 |
1,5 Stunden |
Der häufigste Fehler: den direkten Dreisatz bei umgekehrter Beziehung anwenden
Der Fehler, der die absurdesten Ergebnisse erzeugt, ist die direkte Formel bei einer umgekehrten Aufgabe
zu verwenden. Am Beispiel der Arbeiter: wendest du den direkten Dreisatz auf "4 Arbeiter brauchen 6 Tage,
wie lange brauchen 8?" an, erhältst du (6 × 8) / 4 = 12 Tage, also dass doppelt so viele Arbeiter doppelt so lange
brauchen. Offensichtlich ist es umgekehrt. Der Schutz ist immer derselbe: bevor du rechnest, formuliere die Beziehung
aus ("setze ich mehr Arbeiter ein, steigen oder fallen die Tage?") und prüfe, ob das Endergebnis in die erwartete
Richtung geht. Ein weiterer häufiger Fehler ist, Einheiten zu mischen (Gramm mit Kilo, Minuten mit Stunden):
rechne alles in dieselbe Einheit um, bevor du den Ansatz aufstellst.
Der Dreisatz und die Prozentrechnung
Prozente sind ein Sonderfall des direkten Dreisatzes, bei dem eine der Größen immer 100 ist.
"15 % von 80" wird angesetzt als "100 verhält sich zu 15 wie 80 zu X" → X = (15 × 80) / 100 = 12. Und umgekehrt:
"wie viel Prozent sind 30 von 150?" wird angesetzt als "150 verhält sich zu 100 wie 30 zu X" → X = (100 × 30) / 150 = 20 %.
Wer den Dreisatz beherrscht, kann jeden Prozentsatz, Rabatt, Aufschlag oder jede anteilige Aufteilung lösen, ohne
verschiedene Formeln auswendig zu lernen: alles ist dieselbe Proportion unter anderem Namen.
Hinweis: Dieser Dreisatz Rechner ist ein Allzweck-Werkzeug. Für spezifische Berechnungen von
Steuern, Rabatten oder Daten empfehlen wir unsere spezialisierten Rechner für Prozente, Rabatte, Tage zwischen
Daten und Mehrwertsteuer, die weiter unten verlinkt sind.